Approches du problème de Navier-Stokes

L'approche la plus fondamentale utilise l'énergie. Un fluide en mouvement possède de l'énergie cinétique, et la viscosité la dissipe — comme la friction qui ralentit les choses. L'énergie totale ne peut que diminuer au cours du temps (en l'absence de forçage extérieur).

C'était l'idée clé de Leray en 1934 : utiliser la borne d'énergie pour prouver qu'un certain type de solution doit exister. Sa méthode construit des solutions approchées (avec un lissage artificiel), prouve qu'elles satisfont toutes la borne d'énergie, puis passe à la limite.

La limitation : la borne d'énergie est trop grossière pour garantir la régularité. Elle vous dit que le fluide a une énergie totale finie, mais pas que la vitesse reste finie partout.

Liens vers les articles : Leray, Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace (1934) ; Hopf, Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen (1951).

La construction de Leray-Hopf procède par approximation de Galerkin ou mollification. Étapes clés :

1. Approximer : Résoudre le système molllifié $\partial_t u_\varepsilon + (J_\varepsilon u_\varepsilon \cdot \nabla) u_\varepsilon = \nu \Delta u_\varepsilon - \nabla p_\varepsilon$ sur des sous-espaces de dimension finie.
2. Borne d'énergie : L'estimation a priori $\|u_\varepsilon(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u_\varepsilon\|_{L^2}^2 \leq \|u_0\|_{L^2}^2$ est uniforme en $\varepsilon$.
3. Compacité : Extraire une sous-suite faiblement convergente $u_\varepsilon \rightharpoonup u$ dans $L^2_t \dot{H}^1_x$ en utilisant le lemme d'Aubin-Lions.
4. Passage à la limite : Le terme non linéaire converge grâce à la convergence forte $L^2_{\text{loc}}$ de $u_\varepsilon$.

La solution faible résultante satisfait l'inégalité d'énergie (pas l'égalité — de l'énergie peut être perdue aux temps irréguliers). L'écart entre la classe d'énergie $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ et la régularité est précisément le problème de régularité.

Liens vers les articles : Leray, Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace (1934) ; Hopf, Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen (1951).

L'approche de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1982) n'essaie pas de prouver la régularité complète. Elle demande plutôt : à quel point les singularités peuvent-elles être graves ?

La réponse : remarquablement bénignes. Leur théorème d'$\varepsilon$-régularité dit que si l'énergie du fluide est suffisamment petite dans une petite région de l'espace-temps, alors la solution y est lisse. Comme l'énergie totale est finie, il n'y a tout simplement pas assez de « budget » pour beaucoup de points singuliers.

C'est comme prouver qu'un mur pourrait avoir des fissures, mais que la longueur totale de toutes les fissures combinées est nulle — ce ne peuvent être que des points isolés.

Liens vers les articles : Caffarelli-Kohn-Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations (1982) ; Albritton-Barker-Prange, Epsilon regularity for the Navier-Stokes equations via weak-strong uniqueness.

Le théorème d'$\varepsilon$-régularité CKN : il existe $\varepsilon_{\text{CKN}} > 0$ tel que si $(u,p)$ est une solution faible convenable et

$$\frac{1}{r} \int_{Q_r(z_0)} |\nabla u|^2 \, dx \, dt < \varepsilon_{\text{CKN}}$$

alors $u$ est régulier (höldérien) en $z_0 = (x_0, t_0)$. Ici $Q_r(z_0) = B_r(x_0) \times (t_0 - r^2, t_0)$ est un cylindre parabolique.

La preuve combine l'inégalité d'énergie locale avec une itération de type Campanato : si l'énergie invariante d'échelle est petite, un argument de bootstrap montre que $u$ est borné, puis höldérien, puis lisse par la théorie de Schauder classique.

L'estimation dimensionnelle $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$ suit par un recouvrement de Vitali : si $\Sigma$ avait une mesure $\mathcal{P}^1$ positive, infiniment de cylindres paraboliques disjoints porteraient chacun une énergie $\varepsilon_{\text{CKN}}$, contredisant l'énergie totale finie.

Liens vers les articles : Caffarelli-Kohn-Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations (1982) ; Albritton-Barker-Prange, Epsilon regularity for the Navier-Stokes equations via weak-strong uniqueness.

Un critère de continuation classique, d'abord prouvé par Beale, Kato et Majda pour les équations d'Euler 3D puis adapté sous plusieurs formes à Navier-Stokes, dit que l'explosion ne peut se produire que si le contrôle de la vorticité est perdu.

La vorticité mesure à quel point le fluide tourne localement. Le message des critères de type BKM est : si vous pouvez maintenir la rotation maximale sous contrôle dans la bonne norme, alors la solution continue de manière lisse. D'autres quantités dangereuses sont alors forcées de rester sous contrôle aussi.

Cela a réduit le problème à une seule famille de quantités. Malheureusement, les contrôler s'est avéré tout aussi difficile que le problème original.

Liens vers les articles : Beale-Kato-Majda, Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations (1984) ; Kozono-Taniuchi, Bilinear estimates in BMO and the Navier-Stokes equations (2000).

Le théorème original de Beale-Kato-Majda (1984) concerne les équations d'Euler 3D. Pour Navier-Stokes, des critères de continuation analogues impliquent qu'une solution lisse $u$ sur $[0, T^*)$ se prolonge au-delà de $T^*$ dès que

$$\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot, t)\|_{L^\infty} \, dt < \infty,$$

où $\omega = \nabla \times u$ est la vorticité. Les raffinements incluent :

• Kozono-Taniuchi (2000) : $\|\omega\|_{L^\infty}$ peut être remplacé par $\|\omega\|_{\mathrm{BMO}}$
• Variantes en espaces de Besov : un contrôle critique ou limite en Besov peut aussi servir de critère de continuation
• Critères restreints en direction : Da Veiga (1995) a montré que certaines bornes invariantes d'échelle sur $\nabla u$ suffisent déjà

Ces critères se connectent à l'image de l'étirement des vortex : toute singularité en temps fini doit forcer la vorticité à s'accumuler trop vite pour que l'intégrale en temps ci-dessus reste finie.

Liens vers les articles : Beale-Kato-Majda, Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations (1984) ; Kozono-Taniuchi, Bilinear estimates in BMO and the Navier-Stokes equations (2000) ; Chemin-Planchon, Self-improving bounds for the Navier-Stokes equations (2012).

Une approche moderne travaille avec des espaces mathématiques spéciaux qui se situent exactement à la frontière de ce que la symétrie d'échelle permet. Ce sont les espaces critiques.

L'idée : si vous pouvez montrer qu'une solution reste dans certaines bornes d'espace critique, la régularité s'ensuit automatiquement. Plusieurs équipes l'ont établi, créant un menu de « critères de régularité » — des conditions qui, si elles sont vérifiées, garantissent la régularité.

Le défi reste de passer de ce que nous pouvons prouver (bornes sous-critiques à partir de l'énergie) à ce dont nous avons besoin (bornes critiques). Cet écart est étroit mais a résisté à toutes les tentatives pour le combler.

Liens vers les articles : Kenig-Koch, An alternative approach to regularity for the Navier-Stokes equations in critical spaces ; Gallagher-Koch-Planchon, A profile decomposition approach to the $L^\infty_t(L^3_x)$ Navier-Stokes regularity criterion.

Programmes majeurs en régularité dans les espaces critiques :

• Koch-Tataru (2001) : Existence globale pour les petites données dans $\text{BMO}^{-1}$, le plus grand espace critique où l'estimation bilinéaire $\|\mathbb{P}\nabla \cdot (u \otimes v)\|_{\text{BMO}^{-1}} \lesssim \|u\|_{\text{BMO}^{-1}} \|v\|_{\text{BMO}^{-1}}$ est vérifiée. C'est essentiellement optimal pour les méthodes perturbatives.
• Gallagher-Koch-Planchon (2013) : Décomposition en profils pour Navier-Stokes dans $\dot{H}^{1/2}$. Toute suite de solutions avec norme critique bornée admet une sous-suite se décomposant en profils asymptotiquement découplés.

L'obstruction fondamentale : aucune fonctionnelle coercive connue n'est à la fois contrôlée par l'évolution et critique par rapport au changement d'échelle de Navier-Stokes.

Liens vers les articles : Kenig-Koch, An alternative approach to regularity for the Navier-Stokes equations in critical spaces ; Gallagher-Koch-Planchon, A profile decomposition approach to the $L^\infty_t(L^3_x)$ Navier-Stokes regularity criterion.

La théorie moderne des EDP utilise des outils d'analyse harmonique — les mathématiques de la décomposition des fonctions en ondes de différentes fréquences (comme un accord musical en notes individuelles).

En décomposant la vitesse du fluide en composantes à différentes échelles spatiales et en suivant comment l'énergie se déplace entre les échelles, les mathématiciens peuvent rendre l'intuition vague de « cascade d'énergie » précise. Ces techniques, appelées décomposition de Littlewood-Paley, ont produit les résultats les plus fins connus sur les critères de régularité et les taux d'explosion.

Liens vers les articles : Cannone-Meyer, Littlewood-Paley decomposition and Navier-Stokes equations (1995) ; Gallagher-Koch-Planchon, A profile decomposition approach to the $L^\infty_t(L^3_x)$ Navier-Stokes regularity criterion.

La théorie de Littlewood-Paley décompose $u = \sum_j \Delta_j u$ où $\Delta_j$ localise aux fréquences $|\xi| \sim 2^j$. Pour Navier-Stokes :

La décomposition en paraproduits de la non-linéarité $(u \cdot \nabla)u$ se scinde en interactions basse-haute, haute-basse et haute-haute fréquences :

$$(u \cdot \nabla)u = T_u \nabla u + T_{\nabla u} u + R(u, \nabla u)$$

où $T$ est le paraproduit et $R$ le reste. Chaque pièce a des propriétés de régularité différentes dans les espaces de Besov $\dot{B}^s_{p,q}$.

Résultats clés utilisant cette machinerie :

• Espaces de Chemin-Lerner : $\widetilde{L}^\rho_T \dot{B}^s_{p,q}$ fournissent le cadre naturel pour l'existence et unicité critique : la forme bilinéaire de Navier-Stokes envoie $\widetilde{L}^\infty_T \dot{B}^{-1+3/p}_{p,q} \times \widetilde{L}^1_T \dot{B}^{1+3/p}_{p,q} \to \widetilde{L}^1_T \dot{B}^{-1+3/p}_{p,q}$.
• Cannone-Meyer : Les méthodes de Littlewood-Paley donnent une formulation ondelettes/Besov claire de la théorie des petites données.

Liens vers les articles : Cannone-Meyer, Littlewood-Paley decomposition and Navier-Stokes equations (1995) ; Gallagher-Koch-Planchon, A profile decomposition approach to the $L^\infty_t(L^3_x)$ Navier-Stokes regularity criterion.

Une approche moins traditionnelle mais de plus en plus puissante utilise la géométrie de l'écoulement. Au lieu de suivre des nombres (normes, énergies), ces méthodes étudient la forme de la solution — comment les tubes de vortex se courbent, comment les régions de rotation intense sont disposées dans l'espace.

L'idée est que l'explosion ne concerne pas seulement quelque chose qui devient grand — c'est le fluide qui s'organise dans une configuration géométrique très spécifique. Si vous pouvez montrer que cette configuration est impossible (parce qu'elle mène à une contradiction avec, par exemple, la conservation de l'énergie ou l'incompressibilité), vous avez exclu l'explosion.

Ce point de vue géométrique est devenu un complément important aux critères de régularité purement analytiques.

Liens vers les articles : Constantin, Geometric statistics in turbulence (1994) ; Albritton-Barker-Prange, Localized smoothing and concentration for the Navier-Stokes equations in the half space.

Les approches géométriques-topologiques de la régularité exploitent des contraintes structurelles invisibles aux méthodes purement analytiques :

• Géométrie des lignes de vortex : Constantin (1994) a montré que si le champ de direction de la vorticité $\hat{\omega} = \omega/|\omega|$ est lipschitzien dans les régions de forte vorticité, la solution est régulière. L'explosion exige que la direction de la vorticité développe une singularité simultanément avec son module.
• Arguments d'incompatibilité : si une configuration d'explosion est géométriquement contrainte (par ex. via des bornes d'empilement sur le nombre de régions de concentration indépendantes qui tiennent dans les budgets d'énergie et de dissipation), on peut dériver une contradiction sans estimer directement les normes critiques.
• Partition de cas : en classifiant chaque région spatiale comme appartenant à l'un de finiment de scénarios (par ex. localement régulier, de type Type-I, de type Type-II, densément empilé) et en montrant que chaque scénario donne soit la régularité, soit transfère le problème à un argument de comptage borné, l'explosion peut être exclue de manière combinatoire.

La page de preuve de ce site est destinée à explorer des arguments de cette nature ; elle n'est pas présentée ici comme une preuve formelle achevée du problème du Millénaire.

Liens vers les articles : Constantin, Geometric statistics in turbulence (1994) ; Albritton-Barker-Prange, Localized smoothing and concentration for the Navier-Stokes equations in the half space.

Un développement récent surprenant : les solutions faibles construites par la méthode de Leray (section 1 ci-dessus) se révèlent non uniques — du moins lorsqu'un forçage extérieur est autorisé.

L'outil derrière cette découverte est l'intégration convexe, une technique inventée à l'origine pour des problèmes de géométrie et adaptée aux équations des fluides par De Lellis et Székelyhidi à partir de 2009. L'idée est de construire des solutions « sauvages » en ajoutant itérativement des corrections haute fréquence qui satisfont collectivement l'équation mais se comportent de manière erratique.

Pour les équations d'Euler 3D (Navier-Stokes sans viscosité), Buckmaster et Vicol (2019) ont prouvé que les solutions faibles ne sont pas uniques. Puis en 2022, Albritton, Brué et Colombo ont prouvé que même les solutions de Leray-Hopf des équations de Navier-Stokes 3D ne sont pas uniques lorsqu'une force extérieure est présente.

Cela compte parce que cela montre que « une solution faible existe » — le résultat phare depuis Leray — ne fixe pas une réponse unique. Cela aiguise la question : quelle solution, le cas échéant, est la physiquement correcte ?

Liens vers les articles : De Lellis-Székelyhidi, Dissipative continuous Euler flows (2013) ; Buckmaster-Vicol, Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation (2019) ; Albritton-Brué-Colombo, Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier-Stokes equations (2022).

L'intégration convexe pour les équations des fluides trouve son origine dans le programme De Lellis-Székelyhidi (2009–2013), adaptant la technique d'immersion isométrique $C^1$ de Nash-Kuiper pour construire des solutions faibles des équations d'Euler qui dissipent l'énergie. Étapes clés :

• De Lellis-Székelyhidi (2013) : existence de flux d'Euler dissipatifs continus ($C^0$) sur $\mathbb{T}^3$ (régularité höldérienne en dessous de $1/5$ obtenue dans le travail ultérieur de Buckmaster-De Lellis-Isett-Székelyhidi 2015 ; améliorée ensuite à $< 1/3$ par Isett, 2018, résolvant le côté flexible de la conjecture d'Onsager).
• Buckmaster-Vicol (2019) : non-unicité des solutions faibles de Navier-Stokes 3D dans la classe $C_t L^2_x \cap C_t W^{1,1+}_x$. La construction utilise des flux de Beltrami intermittents comme briques de base, ajoutant des corrections oscillatoires à chaque étape d'itération tout en maintenant le contrôle de la contrainte de Reynolds. Ceci est en dessous de la classe d'énergie de Leray-Hopf, et ne contredit donc pas directement l'unicité de Leray.
• Albritton-Brué-Colombo (2022) : non-unicité des solutions de Leray-Hopf pour les équations de Navier-Stokes 3D forcées. La preuve construit une solution auto-similaire instable en arrière-plan et utilise un mécanisme d'instabilité pour bifurquer vers des solutions de Leray-Hopf distinctes à partir des mêmes données initiales. Cela montre que l'inégalité d'énergie seule ne sélectionne pas une solution unique lorsqu'un forçage est présent.

La question ouverte centrale est de savoir si la non-unicité persiste pour les équations de Navier-Stokes non forcées dans la classe de Leray-Hopf. Le résultat forcé montre que l'inégalité d'énergie n'est pas un principe de sélection suffisant, mais il ne résout pas la question de savoir si l'équation non forcée possède une structure supplémentaire qui restaure l'unicité.

Liens vers les articles : De Lellis-Székelyhidi, Dissipative continuous Euler flows (2013) ; Buckmaster-Vicol, Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation (2019) ; Albritton-Brué-Colombo, Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier-Stokes equations (2022).

Peut-on au moins exclure certaines stratégies de preuve ? Terence Tao (2016) a montré que la réponse est oui — et le résultat est inquiétant.

Tao a construit une version modifiée des équations de Navier-Stokes — un système « moyenné » — qui préserve beaucoup des caractéristiques structurelles clés des vraies équations : l'identité d'énergie, la manière dont l'enstrophie (une mesure de l'intensité de la vorticité) croît, et la symétrie d'échelle. Mais dans ce système modifié, les solutions explosent en temps fini.

L'implication : toute preuve que la régularité globale vaut pour les vraies équations de Navier-Stokes doit utiliser une propriété structurelle spécifique de la vraie non-linéarité que le système moyenné ne possède pas. On ne peut pas prouver la régularité en utilisant seulement les bornes d'énergie, le changement d'échelle et la croissance de l'enstrophie — ces outils seuls sont compatibles avec l'explosion.

Cela ne dit pas que les vraies équations explosent. Cela dit que des familles entières de stratégies de preuve sont des impasses, et que la preuve finale (si la régularité tient) doit être plus délicate qu'un argument énergétique générique.

Liens vers les articles : Tao, Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation (2016).

Tao (2016) considère un système de la forme

$$\partial_t u + \tilde{B}(u, u) = \nu \Delta u - \nabla p, \quad \nabla \cdot u = 0,$$

où $\tilde{B}$ est un opérateur bilinéaire qui coïncide avec la vraie non-linéarité de Navier-Stokes $(u \cdot \nabla)u$ aux sens suivants :

• c'est un multiplicateur de Fourier d'ordre 1, préservant le changement d'échelle $u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$
• il satisfait la même identité d'énergie : $\langle \tilde{B}(u,u), u \rangle = 0$
• il reproduit la structure de croissance de l'enstrophie

Pour ce système moyenné, Tao construit des données initiales lisses dont la solution explose en temps fini. Le mécanisme d'explosion programme une séquence de concentrations d'enstrophie de plus en plus intenses à des échelles de plus en plus petites, chaque étape doublant l'enstrophie dans une cascade contrôlée.

L'obstruction que cela crée : toute quantité supercritique qui est (a) contrôlée par l'évolution dans la classe d'énergie et (b) invariante sous le changement d'échelle de Navier-Stokes ne peut pas à elle seule exclure l'explosion, car elle serait aussi contrôlée dans le système moyenné, qui explose. Une preuve de régularité doit exploiter la structure de cancellation algébrique spécifique de la non-linéarité d'Euler $(u \cdot \nabla)u$ que l'opérateur moyenné $\tilde{B}$ ne partage pas.

Liens vers les articles : Tao, Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation (2016).

Cet article fait partie de Progrès.

Ces approches — de la preuve d'existence de Leray en 1934 à l'intégration convexe contemporaine et aux résultats de barrière de preuve — encadrent le paysage du problème de Navier-Stokes en 3D. Aucune ne l'a résolu. Pour comprendre comment la viscosité façonne le paysage mathématique par rapport aux équations d'Euler non visqueuses, voir Euler vs. Navier-Stokes. Pour l'état actuel, voir Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ? Pour l'énoncé formel exact, revenir au Problème du Millénaire.

Cet article fait partie de Progrès.

Les approches ci-dessus représentent les principaux fils rigoureux de la littérature sur la régularité et l'unicité jusqu'en 2022. Aucune combinaison n'a résolu le problème complet en 3D. Le paysage continue d'évoluer — les méthodes de preuve assistée par ordinateur constituent un domaine actif couvert séparément sur ce site.

Pour la comparaison sous-jacente entre les systèmes visqueux et non visqueux — et pourquoi la viscosité aide mais pas assez — voir Euler vs. Navier-Stokes. Pour les sous-problèmes que ces approches ciblent, voir Sous-problèmes. Pour les obstacles de changement d'échelle, voir Pourquoi c'est difficile.