Incompressible contre compressible : les équations de Navier-Stokes

« Incompressible contre compressible », c'est en réalité une question de densité. Lorsqu'un fluide s'écoule, sa densité reste-t-elle la même d'un point à l'autre, ou varie-t-elle ?

Remplissez une seringue d'eau et poussez le piston. L'eau se déplace, mais elle ne se comprime pas — on ne peut pas faire entrer plus d'eau dans le même espace. L'eau est quasiment incompressible. Remplissez maintenant cette seringue d'air et bouchez l'extrémité. Vous pouvez enfoncer le piston et sentir l'air se comprimer. La même masse d'air occupe un volume plus petit. C'est un écoulement compressible.

Dans un écoulement incompressible, la densité $\rho$ est constante dans tout le fluide. Chaque petite parcelle de fluide conserve son volume en se déplaçant. Dans un écoulement compressible, la densité devient une variable — elle peut varier d'un endroit à l'autre et d'un instant à l'autre. L'air autour d'un moteur à réaction, le gaz dans une explosion, l'atmosphère à grande échelle : tout cela implique un écoulement compressible où les variations de densité gouvernent la physique.

Cette distinction est importante parce qu'elle modifie l'aspect des équations de Navier-Stokes, ce qu'elles prédisent et la difficulté de leur résolution.

L'hypothèse d'incompressibilité fixe le champ de densité $\rho$ à une constante positive dans tout le domaine d'écoulement. Physiquement, cela signifie que chaque élément de volume matériel préserve son volume sous l'application du flot. Le cadre compressible promeut $\rho(x,t)$ au rang d'inconnue à part entière, régie par sa propre équation d'évolution.

Il ne s'agit pas de deux notations pour le même système. Ils diffèrent par le nombre d'inconnues, la structure des équations de contrainte et le caractère de la pression. Le système incompressible compte $d+1$ inconnues scalaires ($u$ et $p$ dans $\mathbb{R}^d$) ; le système compressible en compte typiquement $d+2$ (vitesse, densité et énergie interne ou température), la pression étant déterminée par une équation d'état.

La distinction change également le type d'EDP de la pression : elliptique dans le cas incompressible (la pression s'ajuste instantanément), tandis que dans le cas compressible le système complet est de type mixte hyperbolique-parabolique et les perturbations de pression se propagent à vitesse finie. Ce n'est pas un détail technique — c'est ce qui contrôle la façon dont l'information circule dans le fluide.

Les équations de Navier-Stokes incompressibles décrivent les fluides dont la densité est constante. C'est la version qui apparaît dans le problème du Millénaire de Clay et celle sur laquelle ce site se concentre.

Le système comporte deux parties. L'équation de quantité de mouvement :

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

et la contrainte d'incompressibilité :

$$\nabla \cdot u = 0$$

La contrainte $\nabla \cdot u = 0$ signifie que le champ de vitesse est à divergence nulle : le fluide ne s'accumule ni ne s'amincit nulle part. Ce qui entre dans une petite région doit en sortir au même débit. Cette seule condition remplace l'ensemble de l'équation de densité — puisque la densité ne change pas, on n'a pas besoin d'équation pour la suivre.

La pression joue un rôle particulier dans ce système. Elle n'est pas déterminée par une loi thermodynamique (comme la loi des gaz parfaits). Au lieu de cela, elle s'ajuste instantanément partout pour maintenir l'écoulement à divergence nulle. Mathématiquement, $p$ résout une équation de Poisson déduite de la contrainte. Cela signifie que les variations de pression se propagent à vitesse infinie — il n'y a pas de « vitesse du son » dans un écoulement incompressible.

Le système de Navier-Stokes incompressible possède deux champs inconnus : le champ de vitesse $u$ et le champ de pression $p$. Cette relative simplicité est trompeuse — le terme non linéaire $(u \cdot \nabla)u$ rend tout de même le système redoutablement difficile en trois dimensions.

Le système de Navier-Stokes incompressible sur $\mathbb{R}^3$ avec viscosité cinématique $\nu > 0$ :

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad x \in \mathbb{R}^3,\; t > 0,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0) = u_0(x).$$

La condition de divergence nulle $\nabla \cdot u = 0$ est une contrainte ponctuelle, et non une équation d'évolution. Elle encode la préservation locale du volume : l'application du flot $\Phi_t$ satisfait $\det(D\Phi_t) = 1$ pour tout $t$.

En appliquant l'opérateur divergence à l'équation de quantité de mouvement et en utilisant l'incompressibilité, on obtient l'équation de Poisson pour la pression :

$$-\Delta p = \partial_i \partial_j (u_i u_j) - \nabla \cdot f.$$

Il s'agit d'une équation elliptique pour $p$ à chaque instant fixé. La pression n'est pas une variable thermodynamique indépendante ; elle est déterminée globalement et instantanément par le champ de vitesse. L'information se propage à vitesse infinie via la pression — une différence structurelle fondamentale avec le système compressible.

Les inconnues sont $u : \mathbb{R}^3 \times [0,T) \to \mathbb{R}^3$ et $p : \mathbb{R}^3 \times [0,T) \to \mathbb{R}$. Pour la formulation de Clay (Fefferman, 2000), $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ est à divergence nulle et la question est de savoir si $u$ reste dans $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ avec une énergie bornée.

Les équations de Navier-Stokes compressibles régissent les écoulements où la densité varie. C'est un système plus vaste et plus complexe, avec plus d'inconnues et plus d'équations.

On retrouve une équation de quantité de mouvement, mais maintenant la densité $\rho$ apparaît explicitement :

$$\partial_t (\rho u) + \nabla \cdot (\rho u \otimes u) = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f$$

La contrainte $\nabla \cdot u = 0$ a disparu. À sa place, on obtient une équation de continuité qui suit l'évolution de la densité :

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

Celle-ci exprime la conservation de la masse : la densité change parce que l'écoulement comprime ou dilate les parcelles de fluide.

Le système nécessite également une équation d'énergie et une équation d'état — une relation thermodynamique comme $p = \rho R T$ (la loi des gaz parfaits) qui relie la pression à la densité et à la température. La pression n'est plus un simple garant passif d'une contrainte. Elle possède sa propre physique, sa propre dynamique, et elle se propage à une vitesse finie : la vitesse du son.

Le système compressible est essentiel pour l'aérodynamique à grande vitesse, la dynamique des gaz astrophysiques, la combustion et tout écoulement où les variations de densité comptent. Mais il constitue un objet mathématique véritablement différent des équations incompressibles — plus d'inconnues, plus d'équations, une structure d'EDP différente.

Le système de Navier-Stokes compressible couple la vitesse $u(x,t)$, la densité $\rho(x,t)$, la pression $p(x,t)$ et l'énergie interne spécifique $e(x,t)$ (ou la température $\theta$). Sous forme conservative :

Continuité : $$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

Quantité de mouvement : $$\partial_t (\rho u) + \nabla \cdot (\rho u \otimes u) + \nabla p = \nabla \cdot \tau + \rho f$$

Énergie : $$\partial_t (\rho E) + \nabla \cdot ((\rho E + p)u) = \nabla \cdot (\tau \cdot u) + \nabla \cdot (\kappa \nabla \theta) + \rho f \cdot u$$

où $E = e + \tfrac{1}{2}|u|^2$ est l'énergie spécifique totale, $\tau$ est le tenseur des contraintes visqueuses (pour un fluide newtonien, $\tau = \mu(\nabla u + \nabla u^T) + \lambda (\nabla \cdot u)I$ avec la viscosité de volume $\lambda$), et $\kappa$ est la conductivité thermique.

La fermeture nécessite une équation d'état, par exemple $p = (\gamma - 1)\rho e$ pour un gaz parfait d'indice adiabatique $\gamma$.

Dans le système compressible, les perturbations acoustiques se propagent à vitesse finie, avec la vitesse du son caractéristique $c = \sqrt{\partial p / \partial \rho |_s}$. Cela contraste avec la détermination elliptique et instantanée de la pression dans le modèle incompressible. Les équations compressibles admettent des ondes de choc, des détentes et des discontinuités de contact qui n'ont aucun analogue dans l'écoulement incompressible.

En pratique, la ligne de partage entre écoulement compressible et incompressible est le nombre de Mach :

$$\text{Ma} = \frac{|u|}{c}$$

où $|u|$ est la vitesse de l'écoulement et $c$ la vitesse du son. Le nombre de Mach mesure la rapidité de l'écoulement par rapport à la vitesse à laquelle les perturbations de pression se propagent.

La règle empirique : lorsque $\text{Ma} < 0.3$, la densité varie de moins d'environ 5 %, et les équations incompressibles constituent une excellente approximation. L'air dans une pièce, l'eau dans un tuyau, le vent autour d'un bâtiment — ce sont tous des écoulements à faible Mach. L'air est techniquement compressible, mais il se comporte comme s'il ne l'était pas.

Au-dessus de $\text{Ma} \approx 0.3$, les effets de compressibilité s'amplifient. Dans le régime transsonique autour de $\text{Ma} \approx 1$, des poches supersoniques locales peuvent apparaître et des ondes de choc commencent à se former. Les avions de chasse, les tuyères de fusée et les engins en rentrée atmosphérique évoluent dans ce régime.

Il s'agit d'un spectre, et non d'un interrupteur binaire. Le régime à faible Mach est celui où les équations de Navier-Stokes incompressibles s'appliquent comme modèle physique. La plupart des écoulements de fluides quotidiens — et le problème du Millénaire de Clay — se situent en plein dans ce régime.

Le nombre de Mach $\text{Ma} = |u|/c$ paramétrise l'importance de la compressibilité, où $c = \sqrt{\partial p / \partial \rho |_s}$ est la vitesse du son isentropique. Formellement, les équations incompressibles apparaissent comme la limite à faible Mach du système compressible.

Le développement asymptotique en puissances de $\text{Ma}^2$ (voir Klainerman & Majda, 1981, 1982 ; Schochet, 1986) montre que lorsque $\text{Ma} \to 0$ avec des données initiales appropriées, les solutions compressibles convergent vers la solution incompressible. Dans les adimensionnements standard à faible Mach avec des données bien préparées, on écrit souvent la pression comme un fond thermodynamique presque spatialement uniforme plus une correction dynamique plus petite qui impose la contrainte d'incompressibilité à la limite.

Il s'agit d'une limite singulière : la vitesse du son $c \to \infty$ et le caractère hyperbolique du système compressible dégénère vers l'équation de pression elliptique de l'écoulement incompressible. Les modes acoustiques deviennent infiniment rapides et se découplent de la dynamique tourbillonnaire.

Le régime $\text{Ma} < 0.3$ est une heuristique d'ingénieur. Il reflète l'observation empirique que la variation relative de densité $\delta\rho / \rho \sim \text{Ma}^2 / 2$ reste inférieure à environ 5 % dans cette plage. La justification mathématique est le théorème de convergence pour la limite à faible Mach, qui requiert des données initiales bien préparées et des conditions aux limites compatibles.

Le problème du Millénaire de Clay pose une question précise : étant donné une vitesse initiale lisse et à divergence nulle sur $\mathbb{R}^3$, le système de Navier-Stokes incompressible produit-il toujours une solution lisse existant pour tout temps ?

Pourquoi spécifiquement le cas incompressible ? Trois raisons.

Premièrement, c'est déjà suffisamment difficile. Les équations incompressibles 3D résistent à la preuve de la régularité globale depuis les travaux fondateurs de Leray en 1934. Ajouter les complications de la densité variable, de la thermodynamique et des ondes de choc rendrait le problème considérablement plus difficile, pas plus abordable.

Deuxièmement, la difficulté est purement celle de la mécanique des fluides. Le système incompressible isole le défi mathématique central — l'interaction entre l'advection non linéaire $(u \cdot \nabla)u$ et la dissipation visqueuse $\nu \Delta u$ — sans les complications thermodynamiques ou acoustiques. Le cas incompressible est déjà suffisamment difficile pour constituer un cadre naturel où isoler la question de régularité avant d'ajouter compressibilité, thermodynamique et chocs.

Troisièmement, la physique est claire. Les équations incompressibles modélisent les écoulements quotidiens les plus courants. Comprendre si elles peuvent produire des singularités à partir de données lisses est une question fondamentale sur la cohérence mathématique de la mécanique des fluides classique.

Le système compressible possède ses propres problèmes ouverts profonds — existence de solutions globales avec des données de grande amplitude, formation et interaction de chocs — mais ce sont des problèmes différents avec des structures différentes. Le prix de Clay vise le cas incompressible parce que c'est le problème de régularité spécifique que Clay a formulé pour Navier-Stokes 3D.

La formulation officielle de Clay (Fefferman, 2000) spécifie le système incompressible sur $\mathbb{R}^3$ :

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0, \qquad u|_{t=0} = u_0,$$

avec $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle, et la question est de savoir si $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ avec $\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2\,dx$ borné pour tout $t \geq 0$.

Le choix du système incompressible est mathématiquement motivé. Le problème ouvert clé — l'écart entre les solutions faibles de Leray-Hopf (qui existent globalement mais peuvent ne pas être uniques ni lisses) et les solutions classiques lisses (qui existent localement mais peuvent exploser) — est spécifique aux équations incompressibles 3D. En 2D, la régularité globale pour les solutions lisses de Navier-Stokes incompressible est connue ; le cas 3D reste ouvert.

Le système compressible introduit des difficultés qualitativement différentes : la formation de chocs (qui se produit même pour les équations d'Euler avec des données lisses), les états de vide ($\rho \to 0$) et le couplage entre vorticité et modes acoustiques. Ce sont des problèmes ouverts importants, mais structurellement distincts de la question de régularité incompressible.

Le problème incompressible isole la compétition entre la non-linéarité surcritique en énergie et la dissipation visqueuse. L'estimation naturelle d'énergie donne $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, ce qui est insuffisant par une demi-dérivée par rapport à l'espace critique $L^\infty_t \dot{H}^{1/2}_x$ en 3D. Combler cet écart — ou prouver qu'il ne peut pas l'être — est le cœur du problème du Millénaire.

Pour le système incompressible complet et la signification de chaque terme, lire Que sont les équations de Navier-Stokes ?

Pour comprendre comment les équations sont construites à partir de la deuxième loi de Newton et du tenseur des contraintes, voir Dérivation des équations de Navier-Stokes.

Pour savoir ce qui se passe lorsque l'on supprime entièrement la viscosité et que l'on obtient les équations d'Euler, voir Euler contre Navier-Stokes.

Pour l'énoncé précis du problème du Millénaire et ce que « existence et régularité » signifie réellement, consulter Le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes.

Parcours suggérés à partir d'ici :

• Que sont les équations de Navier-Stokes ? — le système incompressible complet avec une analyse terme par terme
• Dérivation des équations de Navier-Stokes — des axiomes de la mécanique des milieux continus au système d'EDP
• Euler contre Navier-Stokes — la limite non visqueuse $\nu \to 0$ et le rôle de la viscosité dans la régularité
• Le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes — la formulation précise de Clay, la théorie de Leray-Hopf et l'écart entre solutions faibles et fortes