Pourquoi le problème de Navier-Stokes est difficile

La plupart des équations en physique sont linéaires — le résultat est proportionnel à l'entrée. Doublez la cause, doublez l'effet. Les équations linéaires sont bien comprises et (relativement) faciles à résoudre.

Les équations de Navier-Stokes sont non linéaires. La vitesse du fluide affecte son propre taux de variation — le fluide se pousse lui-même. C'est comme essayer de prédire où ira une foule quand le mouvement de chaque personne dépend de ce que font toutes les autres.

Ce terme d'auto-interaction, $(u \cdot \nabla)u$, est ce qui rend les équations si difficiles. Il crée des boucles de rétroaction où de petites perturbations peuvent s'amplifier en grandes perturbations, et c'est pourquoi la turbulence des fluides est si complexe (voir sous-problèmes pour en savoir plus).

La non-linéarité convective $(u \cdot \nabla)u$ est l'obstacle fondamental. Dans la formulation en vorticité $\omega = \nabla \times u$, l'équation devient

$$\partial_t \omega + (u \cdot \nabla)\omega = (\omega \cdot \nabla)u + \nu \Delta \omega$$

Le terme d'étirement des vortex $(\omega \cdot \nabla)u$ n'a pas de signe — il peut amplifier la vorticité sans borne. En 2D, ce terme s'annule (puisque $\omega$ est un scalaire perpendiculaire à l'écoulement), ce qui explique pourquoi la régularité globale en 2D est connue (Ladyzhenskaya, 1969). En 3D, l'étirement des vortex est le principal mécanisme candidat pour l'explosion en temps fini.

De manière critique, la non-linéarité est quadratique en $u$ : l'estimation d'énergie $H^1$ donne $\|\nabla u\|_{L^2}$, mais contrôler $(u \cdot \nabla)u$ dans $L^2$ nécessite $u \in L^\infty$ ou au moins $u \in L^3$ — information non fournie par la classe d'énergie.

Voici un point clé : les équations de Navier-Stokes possèdent une symétrie d'échelle. Si vous zoomez sur une solution (en rendant tout plus petit et plus rapide dans les bonnes proportions), vous obtenez une autre solution valide.

C'est un problème car la seule quantité que nous pouvons contrôler — l'énergie totale du fluide — est à la « mauvaise échelle ». Elle nous renseigne sur le tableau d'ensemble, mais pas sur ce qui se passe aux très petites échelles où une explosion se formerait.

Imaginez surveiller la consommation totale d'électricité d'une ville pour détecter une seule étincelle. La mesure est réelle et utile, mais elle n'est pas assez fine pour capter ce qui vous inquiète. C'est l'écart que les chercheurs doivent combler.

Sous le changement d'échelle naturel $u_\lambda(x,t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$, l'espace de Sobolev critique est $\dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}^3)$ (de manière équivalente $L^3$). Une quantité est :

• Sous-critique si la norme diminue sous changement d'échelle — elle capture le comportement à grande échelle mais manque la concentration à petite échelle — par ex. $\|u\|_{L^2}$
• Critique si invariante d'échelle — par ex. $\|u\|_{L^3}$, $\|u\|_{\dot{H}^{1/2}}$
• Supercritique si elle diminue sous changement d'échelle (favorisant les petites échelles)

L'inégalité d'énergie donne le contrôle de $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$. Les deux composantes sont sous-critiques :

$$\|u_\lambda\|_{L^2} = \lambda^{-1/2} \|u\|_{L^2}, \quad \|u_\lambda\|_{L^2_t \dot{H}^1_x} = \lambda^{-1/2} \|u\|_{L^2_t \dot{H}^1_x}$$

Cela signifie que l'estimation d'énergie ne fournit aucun contrôle aux petites échelles — la non-linéarité peut en principe dominer la dissipation aux échelles fines. Passer de la classe d'énergie sous-critique à une norme critique est la difficulté centrale.

Quiconque a observé une rivière sait que le mouvement des fluides devient chaotique — turbulent. Les grands tourbillons se brisent en plus petits, qui se brisent en encore plus petits, jusqu'aux échelles microscopiques où la viscosité finit par lisser les choses.

Cette cascade d'énergie (décrite par Kolmogorov en 1941) est magnifiquement capturée par les équations de Navier-Stokes. Mais elle suggère aussi un danger : et si l'énergie se concentrait dans des régions de plus en plus petites plus vite que la viscosité ne peut la dissiper ? Ce serait une explosion.

Si cela peut réellement se produire — ou si la viscosité gagne toujours à la fin — c'est exactement la question ouverte. Pour le pont plus physique du nombre de Reynolds à cette image des petites échelles, voir Nombre de Reynolds, turbulence et importance des petites échelles.

La théorie K41 de Kolmogorov prédit un spectre d'énergie $E(k) \sim \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}$ dans la zone inertielle $k_f \ll k \ll k_\eta$, où $k_\eta \sim (\varepsilon/\nu^3)^{1/4}$ est le nombre d'onde de dissipation de Kolmogorov. Le flux d'énergie est constant à travers les échelles dans cette gamme.

La question de régularité demande si cette cascade peut dégénérer : l'échelle de dissipation $k_\eta^{-1}$ peut-elle tendre vers zéro en temps fini ? Cela nécessiterait $\|\nabla u\|_{L^2} \to \infty$ (explosion du taux de dissipation) tandis que l'énergie totale reste finie.

La conjecture d'anomalie de dissipation (Onsager, 1949) suggère que dans la limite de viscosité évanescente $\nu \to 0$, la dissipation d'énergie persiste — les solutions faibles d'Euler peuvent dissiper l'énergie. Cela a été confirmé pour des exposants de Hölder inférieurs à $1/3$ (Isett, 2018 ; Buckmaster et al., 2018), mais le lien avec la régularité de Navier-Stokes reste flou. Pour l'intuition au niveau des régimes derrière cette section, voir Nombre de Reynolds, turbulence et importance des petites échelles.

Dans les équations de Navier-Stokes, la pression joue un rôle étrange. Ce n'est pas une variable indépendante — elle est entièrement déterminée par la vitesse à travers une contrainte (le fluide est incompressible, ce qui signifie qu'il ne peut pas être comprimé).

Cela rend la pression non locale : un changement de vitesse en un point affecte instantanément la pression partout. C'est comme si chaque partie du fluide était reliée à toutes les autres par des ressorts invisibles.

Cette non-localité rend les équations beaucoup plus difficiles à analyser. On ne peut pas étudier ce qui se passe en un point sans considérer l'ensemble du fluide.

La contrainte d'incompressibilité $\nabla \cdot u = 0$ détermine la pression par l'équation de Poisson

$$-\Delta p = \nabla \cdot ((u \cdot \nabla)u) = \partial_i \partial_j (u_i u_j)$$

donc $p = (-\Delta)^{-1} \partial_i \partial_j (u_i u_j)$, faisant intervenir des transformées de Riesz — des opérateurs intégraux singuliers. La pression est une fonctionnelle non locale de la vitesse, et cette non-localité est l'obstacle principal aux estimations ponctuelles ou locales en espace.

En particulier, les arguments de principe du maximum classiques échouent : bien que le terme visqueux $\nu \Delta u$ soit dissipatif, le gradient de pression $-\nabla p$ peut concentrer l'énergie provenant de régions éloignées. La théorie de Caffarelli-Kohn-Nirenberg gère cela via des inégalités d'énergie locales sur des cylindres paraboliques, mais extraire la régularité ponctuelle de celles-ci reste l'étape difficile.

En deux dimensions, le problème de Navier-Stokes est résolu — les solutions lisses existent pour tout temps. (Ladyzhenskaya l'a prouvé en 1969.)

Alors qu'est-ce qui ne va pas en trois dimensions ? La différence clé est l'étirement des vortex. En 2D, les vortex peuvent tourner et fusionner, mais ils ne peuvent pas s'étirer. En 3D, le fluide peut étirer les tubes de vortex de plus en plus fin, concentrant potentiellement toute l'énergie dans un filament infiniment mince.

Si ce processus d'étirement peut s'emballer vers l'infini en temps fini — ou si la viscosité intervient toujours pour l'arrêter — c'est la question à un million de dollars.

La dichotomie entre 2D et 3D est nette :

• 2D : La vorticité $\omega$ est un scalaire satisfaisant $\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega = \nu \Delta \omega$. Le principe du maximum donne $\|\omega(t)\|_{L^\infty} \leq \|\omega_0\|_{L^\infty}$, et BKM implique la régularité globale. Le terme d'étirement des vortex $(\omega \cdot \nabla)u$ est identiquement nul.
• 3D : La vorticité $\omega \in \mathbb{R}^3$ satisfait $\partial_t \omega + (u \cdot \nabla)\omega = (\omega \cdot \nabla)u + \nu \Delta \omega$. Le terme d'étirement $(\omega \cdot \nabla)u$ peut amplifier $|\omega|$ de manière superlinéaire (formellement $\sim |\omega|^2$ via Biot-Savart), et aucun principe du maximum n'est disponible.

L'enstrophie $\|\omega\|_{L^2}^2$ satisfait

$$\frac{d}{dt}\|\omega\|_{L^2}^2 \leq C\|\omega\|_{L^2}^2 \|\nabla u\|_{L^\infty} - 2\nu \|\nabla \omega\|_{L^2}^2$$

mais contrôler $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ nécessite $\omega \in L^\infty$, créant une dépendance circulaire qu'aucune technique existante n'a pu briser.

Cet article fait partie de Le Problème.

Ces obstacles ont conduit les mathématiciens à décomposer le problème en sous-problèmes et à développer des approches spécialisées pour chacun.

Pour comprendre pourquoi le terme visqueux aide mais pas assez, voir Euler vs. Navier-Stokes.

Cet article fait partie de Le Problème.

Pour une décomposition du problème de régularité en composantes traitables, voir Sous-problèmes. Pour les outils analytiques développés pour aborder ces obstacles, voir Approches. Pour comprendre pourquoi le terme visqueux aide mais ne comble pas l'écart, voir Euler vs. Navier-Stokes.