Existence et régularité de Navier-Stokes : le problème du Millénaire

En l'an 2000, l'Institut Clay a sélectionné sept des problèmes non résolus les plus importants en mathématiques et a offert un prix de 1 million de dollars pour chacun. Le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes en fait partie.

La question, de manière informelle : les équations du mouvement des fluides admettent-elles toujours des solutions lisses et bien comportées, ou peuvent-elles s'effondrer ?

À ce jour, personne n'a réclamé le prix. Le problème reste grand ouvert — bien qu'il y ait eu des progrès remarquables dans la compréhension de ce à quoi ressemblerait une solution (ou un effondrement).

Le prix du Millénaire de Clay pour Navier-Stokes est énoncé dans la description officielle du problème par Charles Fefferman (2000). Deux formulations sont données — l'une sur $\mathbb{R}^3$ et l'autre sur $\mathbb{T}^3$ (conditions aux limites périodiques). Une solution valide doit traiter l'une d'entre elles.

Le prix exige soit :

• (A) Existence et régularité : Prouver que pour tout $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ avec $\nabla \cdot u_0 = 0$ et décroissance appropriée, il existe une solution lisse $(u, p)$ pour tout $t \geq 0$ avec croissance contrôlée.
• (B) Effondrement : Exhiber des données initiales lisses, à divergence nulle, et une force extérieure lisse pour lesquelles aucune solution lisse n'existe pour tout $t > 0$.

Voici ce que le problème demande réellement, en langage courant :

Configuration : Prenez toute vitesse initiale de fluide parfaitement lisse (sans arêtes vives ni discontinuités) et qui s'annule à l'infini (le fluide est essentiellement immobile loin de l'action).

Question : La vitesse du fluide restera-t-elle lisse et finie pour tout temps futur ? Ou est-il possible que la vitesse devienne infinie en un point — une « explosion » ?

La réponse est l'une des deux possibilités :

1. Oui, toujours lisse — prouver que peu importe l'état initial lisse de départ, la solution reste lisse pour toujours.
2. Non, l'explosion est possible — trouver une configuration initiale lisse spécifique où la solution finit par s'effondrer.

En suivant la formulation de Fefferman sur $\mathbb{R}^3$ avec $f \equiv 0$ :

Hypothèses : Soit $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle. Supposons que pour tout $\alpha$ et $K$ il existe des constantes $C_{\alpha,K}$ telles que

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{on } \mathbb{R}^3.$$

Conclusion (à prouver) : Il existe $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ et $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations de Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, et la borne d'énergie

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{for all } t \geq 0.$$

Le problème de Navier-Stokes a mérité sa place parmi les sept problèmes du Millénaire parce qu'il se situe à l'intersection de :

• L'importance pratique — ces équations sous-tendent l'essentiel de la dynamique des fluides, de la conception aéronautique à la modélisation climatique
• La profondeur mathématique — le problème touche simultanément l'analyse, la géométrie, la topologie et la physique
• La résistance aux techniques connues (explorer pourquoi) — malgré plus de 180 ans de travaux par certains des plus grands mathématiciens, ni la régularité globale ni l'explosion en temps fini n'ont été établies

L'énoncé est accessible à un non-mathématicien, mais le problème a résisté à près de deux siècles d'efforts sérieux.

La difficulté du problème est enracinée dans la nature supercritique des équations en 3D. L'estimation naturelle d'énergie

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

place $u$ dans $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, ce qui est en dessous du changement d'échelle critique. Les équations de Navier-Stokes sont invariantes sous

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

et l'espace critique est $L^3(\mathbb{R}^3)$ (ou $\dot{H}^{1/2}$). La classe d'énergie $L^2$ est sous-critique — elle ne contrôle pas la non-linéarité aux petites échelles, laissant un écart que toutes les techniques existantes peinent à combler.

Jalons clés de l'histoire :

• 1822 — Navier dérive les équations à partir de considérations moléculaires
• 1845 — Stokes donne la dérivation moderne en mécanique des milieux continus
• 1934 — Leray prouve que des solutions « faibles » existent toujours (une percée majeure, mais ces solutions pourraient ne pas être lisses)
• 1982 — Caffarelli, Kohn et Nirenberg prouvent que les singularités (en savoir plus sur la régularité partielle), si elles existent, sont confinées dans un ensemble de l'espace-temps de mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle — elles ne peuvent être que des points isolés
• 1984 — Beale, Kato et Majda montrent que l'explosion ne peut se produire que si la vorticité devient infinie
• 2000 — Clay le désigne comme problème du Millénaire
• Aujourd'hui — le problème reste ouvert, avec des travaux actifs sur les approches en espaces critiques, la classification des explosions de Type-I/II et les preuves assistées par ordinateur

Une chronologie sélective des résultats fondamentaux :

• Leray (1934) : Existence de solutions faibles globales $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ par compacité. Introduction du projecteur de Leray et du concept de solutions turbulentes.
• Hopf (1951) : Extension de la construction de Leray aux domaines bornés.
• Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin (années 1960) : Critères de régularité — $u \in L^p_t L^q_x$ avec $2/p + 3/q \leq 1$, $q \geq 3$ implique la régularité. Le cas critique $L^\infty_t L^3_x$ résolu par Escauriaza–Seregin–Šverák (2003).
• Caffarelli–Kohn–Nirenberg (1982) : La mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle de l'ensemble singulier est nulle : $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$.
• Beale–Kato–Majda (1984) : Explosion si et seulement si $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$.
• Koch–Tataru (2001) : Existence et unicité locale pour des petites données dans $\mathrm{BMO}^{-1}$, le plus grand espace critique où cela est connu.
• Seregin (2012) : Si $T^*$ est un temps d'explosion, alors $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ quand $t \to T^*$ — renforçant ESS (2003) en montrant que la norme $L^3$ doit effectivement diverger, pas seulement ne pas être uniformément bornée.

Cet article fait partie de Le Problème.

Si vous êtes arrivé ici en vous demandant si le problème a déjà été résolu, commencez par Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Puis explorez pourquoi il est si difficile à résoudre, ou voyez comment les mathématiciens l'ont décomposé en sous-problèmes.

Cet article fait partie de Le Problème.

Pour la réponse rapide sur le statut et la distinction entre existence faible et régularité globale lisse, voir Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Pour les obstacles mathématiques sous-jacents au problème de régularité, voir Pourquoi c'est difficile. Pour une décomposition en composantes traitables — solutions faibles, régularité partielle, classification des explosions — voir Sous-problèmes.