Que sont les équations de Navier-Stokes ?

Les équations de Navier-Stokes sont un système d'équations aux dérivées partielles qui décrivent le mouvement des fluides visqueux tels que l'eau, l'air et le sang.

Elles servent à décrire l'eau dans un tuyau, l'air autour d'une aile d'avion, le sang dans une artère et d'innombrables autres écoulements.

À un niveau élevé, elles expriment : un fluide change de mouvement sous l'effet de la pression, de la viscosité et des forces qui agissent sur lui. La pression pousse le fluide, la viscosité lisse les différences brusques de mouvement, et les forces extérieures comme la gravité peuvent entraîner l'écoulement.

Ces équations ne sont pas qu'un slogan de physique. Elles constituent le langage de travail de l'essentiel de la dynamique des fluides, de l'ingénierie et de la simulation numérique.

Les équations de Navier-Stokes sont les équations de bilan de quantité de mouvement pour un fluide newtonien visqueux. Dans le cadre incompressible, elles couplent le champ de vitesse $u(x,t)$ et la pression $p(x,t)$ à travers un système d'EDP non linéaire.

Strictement parlant, Navier-Stokes est un système d'équations plutôt qu'une équation unique. Elles modélisent la conservation de la quantité de mouvement associée à la loi constitutive selon laquelle la contrainte visqueuse est proportionnelle au gradient symétrique de vitesse. L'incompressibilité ajoute la contrainte de préservation locale du volume.

Pour le problème du Millénaire de Clay et pour l'essentiel de ce site, le cadre pertinent est le système 3D incompressible.

Sous leur forme commune la plus simple, les équations s'écrivent :

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Ici :

• $u$ est la vitesse du fluide
• $p$ est la pression
• $\nu$ est la viscosité
• $f$ est toute force extérieure, comme la gravité

Le membre de gauche décrit comment la vitesse change au cours du temps et comment le fluide transporte son propre mouvement. Le membre de droite contient les forces qui poussent et lissent l'écoulement.

Le système de Navier-Stokes incompressible sur $\mathbb{R}^3$ est

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

Les termes ont des interprétations classiques :

• $\partial_t u$ : variation temporelle locale
• $(u \cdot \nabla)u$ : advection non linéaire, c'est-à-dire que le fluide transporte sa propre vitesse
• $-\nabla p$ : force de pression
• $\nu \Delta u$ : diffusion visqueuse
• $f$ : forçage extérieur
• $\nabla \cdot u = 0$ : contrainte d'incompressibilité

C'est la forme utilisée dans toutes les pages du site sur le problème du Millénaire, la difficulté et les stratégies de preuve.

Les équations proviennent d'une idée simple : appliquer la deuxième loi de Newton à une petite parcelle de fluide. La masse de cette parcelle multipliée par son accélération doit être égale à la force totale qui s'exerce sur elle.

Pour un fluide visqueux, ces forces proviennent principalement de la pression et de la friction interne. Lorsqu'on écrit soigneusement ce bilan en chaque point du fluide, on obtient les équations de Navier-Stokes.

Les équations ne sont donc pas arbitraires. Elles sont la version en mécanique des milieux continus de la force est égale à la masse fois l'accélération. Pour la dérivation complète étape par étape, voir Comment les équations de Navier-Stokes sont dérivées.

La dérivation part de la conservation de la quantité de mouvement pour un milieu continu. On écrit le bilan de la quantité de mouvement linéaire sur un volume matériel, puis on localise l'identité pour obtenir une EDP.

Pour un fluide newtonien incompressible, le tenseur des contraintes de Cauchy a la forme

$$T = -pI + 2\mu D(u), \qquad D(u)=\frac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T),$$

où $\mu$ est la viscosité dynamique. En substituant cette loi constitutive dans l'équation de quantité de mouvement et en divisant par la masse volumique, on obtient le système incompressible familier avec la viscosité cinématique $\nu = \mu/\rho$.

L'incompressibilité correspond à une masse volumique constante et donne la condition de divergence nulle $\nabla \cdot u = 0$. Pour la dérivation complète à partir du bilan de quantité de mouvement et de la loi constitutive newtonienne, voir Dérivation.

La partie difficile est le terme non linéaire $(u \cdot \nabla)u$. Le fluide ne se contente pas de répondre aux forces extérieures ; il se pousse lui-même. Ce retour d'information est ce qui rend possible la turbulence et les mouvements d'apparence chaotique.

En deux dimensions spatiales, les équations sont bien mieux comportées. En trois dimensions, nous ne savons toujours pas si tout écoulement initial lisse reste lisse pour toujours.

C'est pourquoi ces équations sont célèbres bien au-delà de l'ingénierie : elles mènent directement au problème du Millénaire de Navier-Stokes.

La principale difficulté analytique est que l'estimation naturelle d'énergie est plus faible que le changement d'échelle de l'équation en 3D. En résumé, le contrôle $L^2$ standard n'est pas assez fort pour exclure une concentration à très petite échelle.

C'est la source de l'écart entre ce qui est connu pour les solutions faibles globales et ce qui serait nécessaire pour prouver la régularité globale. Le terme d'advection non linéaire est critique en énergie par rapport à la régularité que l'on souhaiterait propager.

Pour une discussion plus approfondie, voir Pourquoi c'est difficile et Approches.

Les équations de Navier-Stokes sont utilisées quotidiennement en science et en ingénierie. Les applications typiques comprennent :

• l'écoulement de l'air autour des ailes et des véhicules
• les modèles météorologiques et climatiques
• la circulation océanique
• le transport industriel de fluides
• la circulation sanguine et d'autres problèmes de transport biologique

En pratique, on résout des approximations numériques de ces équations, souvent avec des hypothèses de modélisation supplémentaires. Ce succès pratique est l'une des raisons pour lesquelles les questions mathématiques restantes sont si frappantes.

Les travaux appliqués utilisent typiquement des approximations numériques de Navier-Stokes ou de modèles apparentés dans des régimes spécifiques : écoulement incompressible, écoulement compressible, modèles de turbulence, approximations de couche limite et modèles réduits.

La simulation numérique directe, la simulation des grandes échelles et les fermetures moyennées de Reynolds remontent toutes au même cadre d'EDP continue, mais elles n'éliminent pas la question fondamentale de régularité en trois dimensions.

Cette séparation entre efficacité pratique et théorie incomplète fait partie de ce qui rend le sujet si captivant.

Si votre question principale est de savoir si le problème est résolu, commencez par Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Si vous voulez saisir les enjeux mathématiques généraux, continuez avec Le problème du Millénaire.

Si vous voulez comprendre en quoi Navier-Stokes diffère des équations d'Euler non visqueuses et pourquoi la viscosité compte, lisez Euler vs. Navier-Stokes.

Si vous voulez l'intuition physique derrière la turbulence et les petites échelles, lisez Nombre de Reynolds, turbulence et importance des petites échelles.

Si vous voulez connaître les principaux obstacles, rendez-vous sur Pourquoi c'est difficile.

Prochaines étapes naturelles sur ce site :

• Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ? pour la question du statut et la distinction entre existence faible et théorie globale lisse
• Le problème du Millénaire pour la formulation précise de Clay
• Euler vs. Navier-Stokes pour le rôle de la viscosité et les différences essentielles entre les systèmes visqueux et non visqueux
• Incompressible vs. compressible pour la différence entre les formulations à densité constante et à densité variable
• Nombre de Reynolds, turbulence et importance des petites échelles pour l'intuition au niveau des régimes sur les écoulements multi-échelles
• Pourquoi c'est difficile pour le changement d'échelle, la supercriticalité et les scénarios d'explosion