Dérivation des équations de Navier-Stokes

Dérivation des équations de Navier-Stokes

D'où viennent les équations : une dérivation pas à pas, de la deuxième loi de Newton au système incompressible au cœur du problème du Millénaire

La deuxième loi de Newton pour un fluide

Toute dérivation de Navier-Stokes commence par la même idée : appliquer la deuxième loi de Newton — la force est égale à la masse fois l'accélération — à une petite parcelle de fluide en mouvement.

Prenez un petit volume d'eau, d'air ou de tout autre fluide. Il possède une certaine masse. Des forces agissent sur lui : la pression le comprime de tous côtés, la friction interne le tire, et la gravité l'attire vers le bas. Newton dit que la force résultante détermine l'accélération du volume.

Contrairement à un corps rigide, une parcelle de fluide peut se déformer en se déplaçant. Elle s'étire et se distord tandis qu'elle est emportée par l'écoulement. Ainsi, l'« accélération » n'est pas aussi simple que le suivi d'un objet unique. Il faut suivre la parcelle tandis qu'elle est transportée par l'écoulement.

En termes courants : imaginez que vous êtes assis dans un canoë sur une rivière. Votre accélération dépend non seulement de la façon dont le courant change au cours du temps à votre position, mais aussi du fait que le courant vous emporte vers des régions où l'écoulement peut être plus rapide ou plus lent. Les deux effets contribuent à la variation de votre vitesse.

Écrire ce bilan — toutes les forces égales à la masse fois cette accélération combinée — pour chaque point du fluide simultanément est le point de départ de la dérivation des équations de Navier-Stokes.

La dérivation des équations de Navier-Stokes commence par l'équation de quantité de mouvement de Cauchy, qui est la forme en mécanique des milieux continus de la deuxième loi de Newton appliquée à un volume matériel $\Omega(t)$ se déplaçant avec le fluide.

Pour un fluide de densité $\rho$ et de champ de vitesse $u(x,t)$, la conservation de la quantité de mouvement linéaire s'écrit

$$\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)} \rho\, u\, dV = \int_{\partial\Omega(t)} T\, n\, dS + \int_{\Omega(t)} \rho\, f\, dV,$$

où $T$ est le tenseur des contraintes de Cauchy, $n$ est la normale unitaire sortante, et $f$ représente les forces volumiques par unité de masse (typiquement la gravité).

La localisation par le théorème de transport de Reynolds donne la forme différentielle

$$\rho\frac{Du}{Dt} = \nabla \cdot T + \rho f,$$

où la dérivée matérielle

$$\frac{Du}{Dt} = \partial_t u + (u \cdot \nabla)u$$

capture à la fois la variation temporelle locale et l'accélération convective. C'est l'analogue exact de $ma = F$ en chaque point du milieu continu.

Les forces s'exerçant sur une parcelle de fluide

Trois types de forces interviennent dans la dérivation de l'équation de Navier-Stokes :

1. Les forces de pression. Le fluide exerce une poussée sur la parcelle de toutes les directions. Si la pression est plus élevée d'un côté que de l'autre, la parcelle est poussée vers le côté de basse pression. Ce déséquilibre est capturé par le gradient de pression $-\nabla p$ : un vecteur qui pointe des hautes pressions vers les basses pressions et indique au fluide dans quelle direction accélérer.

2. Les forces visqueuses. Les couches adjacentes de fluide se déplaçant à des vitesses différentes exercent une traction les unes sur les autres — comme lorsque l'on frotte ses mains l'une contre l'autre, mais de manière continue dans tout le fluide. Les couches rapides entraînent leurs voisines plus lentes ; les couches lentes freinent les plus rapides. Cette friction interne lisse les différences de vitesse. Pour un fluide simple comme l'eau, l'intensité de cette friction est déterminée par un seul nombre : la viscosité $\mu$.

3. Les forces extérieures. Tout ce qui agit sur le fluide depuis l'extérieur — le plus souvent la gravité. Ce sont des forces volumiques : elles agissent sur chaque portion de fluide dans le volume, et non seulement à la surface.

Les équations de Navier-Stokes sont ce que l'on obtient lorsque l'on écrit « masse × accélération = force de pression + force visqueuse + force extérieure » en chaque point.

Le tenseur des contraintes de Cauchy $T$ encode toutes les forces internes de contact. Pour tout fluide, il se décompose en une partie isotrope de pression et une partie déviatorique (visqueuse) :

$$T = -pI + \tau,$$

où $p$ est la pression mécanique (définie comme $-\tfrac{1}{3}\mathrm{tr}\,T$ pour un écoulement compressible) et $\tau$ est le tenseur des contraintes visqueuses.

Gradient de pression. L'application du théorème de la divergence à $-pI$ donne la force $-\nabla p$ par unité de volume. C'est la partie isotrope de la divergence des contraintes.

Contrainte visqueuse. Le tenseur $\tau$ dépend de la loi constitutive spécifique reliant la contrainte au taux de déformation. Sa divergence $\nabla \cdot \tau$ donne la force visqueuse par unité de volume. À ce stade, la forme de $\tau$ reste non spécifiée — elle provient de l'hypothèse du fluide newtonien dans la section suivante.

Forces volumiques. Les forces extérieures telles que la gravité interviennent comme $\rho f$ par unité de volume. En substituant la décomposition des contraintes dans l'équation de quantité de mouvement de Cauchy, on obtient

$$\rho\frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f.$$

Il s'agit de l'équation générale de quantité de mouvement pour tout fluide simple, newtonien ou non. Pour fermer le système, il faut une loi constitutive spécifiant $\tau$.

L'hypothèse du fluide newtonien

Tous les fluides ne se comportent pas de la même manière sous contrainte. Le miel résiste au mouvement différemment de l'eau. Le ketchup devient plus fluide quand on le secoue. La maïzena mélangée à l'eau devient plus rigide quand on la frappe.

Les équations de Navier-Stokes font une hypothèse spécifique : le fluide est newtonien. Cela signifie que la friction interne (contrainte visqueuse) est directement proportionnelle à la vitesse de déformation du fluide. On double le taux de déformation, on double la contrainte. L'hypothèse constitutive est linéaire : la contrainte visqueuse est proportionnelle au taux de déformation instantané.

L'eau, l'air et de nombreux fluides courants sont très bien modélisés comme newtoniens. Mais il s'agit véritablement d'une hypothèse, et non d'une conséquence des lois de Newton. La dérivation l'exige. Sans elle, on obtient une classe différente d'équations (les modèles de fluides non newtoniens).

La constante de proportionnalité est la viscosité dynamique $\mu$ : une propriété du matériau qui mesure la résistance d'un fluide au cisaillement. L'eau a une faible viscosité ; le miel a une viscosité élevée.

Il existe aussi un second paramètre de viscosité $\lambda$, parfois appelé second coefficient de viscosité, qui intervient lorsque le fluide se comprime ou se dilate. Une simplification supplémentaire courante — l'hypothèse de Stokes — pose $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$. Il s'agit d'une hypothèse additionnelle, et non d'un théorème.

La loi constitutive pour un fluide newtonien suppose que la contrainte visqueuse $\tau$ est une fonction linéaire et isotrope du tenseur des taux de déformation $D(u) = \tfrac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T)$. Par le théorème de représentation des fonctions tensorielles isotropes, la forme la plus générale de cette loi est

$$\tau = 2\mu\, D(u) + \lambda (\nabla \cdot u)\, I,$$

ou de manière équivalente

$$\tau = \mu(\nabla u + \nabla u^T) + \lambda(\nabla \cdot u)\, I,$$

où $\mu > 0$ est la viscosité dynamique (de cisaillement) et $\lambda$ est le second coefficient de viscosité.

C'est l'hypothèse définitoire d'un fluide newtonien. Elle n'est pas dérivée de principes premiers ; c'est une hypothèse constitutive validée empiriquement pour de nombreux fluides courants.

L'hypothèse de Stokes postule de plus que $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, ce qui annule la viscosité de volume $\kappa = \lambda + \frac{2}{3}\mu$. Cette simplification est largement utilisée mais constitue une hypothèse indépendante — elle n'est pas une conséquence de la thermodynamique ni de l'hypothèse newtonienne elle-même. La théorie cinétique classique prédit une viscosité de volume nulle pour les gaz parfaits monoatomiques sous des hypothèses idéalisées ; pour de nombreux gaz et liquides réels, l'hypothèse de Stokes n'est qu'approximative.

La contrainte thermodynamique issue de l'inégalité de Clausius-Duhem exige seulement $\mu \geq 0$ et $3\lambda + 2\mu \geq 0$ (ou de manière équivalente $\kappa \geq 0$).

Assemblage de l'équation de quantité de mouvement

Assemblons maintenant les pièces. Nous avons :

La masse fois l'accélération à gauche (la dérivée matérielle de la vitesse)
La pression, la friction visqueuse et la gravité à droite
La loi du fluide newtonien reliant la friction au taux de déformation

En substituant et en simplifiant, on obtient l'équation de quantité de mouvement de Navier-Stokes compressible :

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u\Big) = -\nabla p + \mu\, \Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho\, f$$

Chaque terme a une signification physique :

$\rho\,\partial_t u$ — variation de la vitesse en un point fixe au cours du temps
$\rho(u \cdot \nabla) u$ — le fluide transportant sa propre vitesse d'un endroit à un autre (advection)
$-\nabla p$ — la pression poussant des hautes vers les basses pressions
$\mu\,\Delta u$ — la viscosité lissant les différences de vitesse
$(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ — un terme visqueux supplémentaire qui n'intervient que lorsque le fluide se comprime ou se dilate
$\rho f$ — les forces extérieures comme la gravité

Voici l'équation de quantité de mouvement complète. Couplée à la conservation de la masse et à une équation d'état (reliant la pression à la densité), elle forme le système de Navier-Stokes compressible.

En substituant la loi constitutive newtonienne $\tau = 2\mu D(u) + \lambda(\nabla \cdot u)I$ dans l'équation de quantité de mouvement $\rho \frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f$ et en calculant la divergence de $\tau$ :

$$\nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \big[\mu(\nabla u + \nabla u^T)\big] + \nabla\big[\lambda(\nabla \cdot u)\big].$$

Si $\mu$ et $\lambda$ sont constants (hypothèse standard dans de nombreuses dérivations), cela se simplifie en

$$\nabla \cdot \tau = \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u),$$

en utilisant l'identité vectorielle $\nabla \cdot (\nabla u^T) = \nabla(\nabla \cdot u)$. L'équation de quantité de mouvement de Navier-Stokes compressible est alors

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho f.$$

Celle-ci doit être couplée à la conservation de la masse (l'équation de continuité)

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

et à une équation d'état $p = p(\rho, \theta)$ (ou une équation d'énergie) pour fermer le système. Avec l'hypothèse de Stokes $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, le coefficient $\mu + \lambda = \frac{1}{3}\mu$. Pour une comparaison détaillée avec le système incompressible, voir Incompressible contre compressible.

La spécialisation incompressible

De nombreux écoulements — eau dans un tuyau, courants d'air lents, circulation océanique — impliquent des fluides dont la densité reste essentiellement constante. Cette simplification transforme les équations générales en un système plus propre et plus maniable.

Densité constante signifie que $\rho$ est identique partout et à tout instant. La conservation de la masse impose alors au champ de vitesse de satisfaire $\nabla \cdot u = 0$ : le fluide ne se comprime ni ne se dilate nulle part. C'est la contrainte d'incompressibilité.

Avec $\nabla \cdot u = 0$, le terme visqueux supplémentaire $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ s'annule entièrement. Le second coefficient de viscosité $\lambda$ disparaît — il n'a aucun rôle lorsque le fluide ne peut pas se comprimer. L'équation de quantité de mouvement devient :

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u\Big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f$$

En divisant les deux membres par $\rho$, en posant $\nu = \mu / \rho$ (la viscosité cinématique) et en redéfinissant la pression pour absorber le facteur $1/\rho$, on obtient la forme standard :

$$\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

C'est le système étudié dans le problème du Millénaire de Clay. C'est la version que l'on rencontre sur l'ensemble de ce site et dans la plupart des traitements mathématiques de Navier-Stokes. Pour une comparaison approfondie de cette forme avec le système compressible, voir Incompressible contre compressible.

Notons que poser $\nu = 0$ (aucune viscosité) donne les équations d'Euler — un système apparenté mais fondamentalement différent.

Une spécialisation incompressible courante suppose une densité constante $\rho$ dans tout l'écoulement. L'équation de continuité $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u) = 0$ impose alors $\nabla \cdot u = 0$. Plus généralement, l'incompressibilité est encodée par $\nabla \cdot u = 0$ (ou de manière équivalente $D\rho/Dt = 0$ via la continuité), ce qui permet en principe une densité variable, mais le cas à densité constante est le cadre standard pour le problème de Clay.

Sous l'hypothèse d'incompressibilité, le terme $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ s'annule identiquement. Le second coefficient de viscosité $\lambda$ devient sans objet — ni l'hypothèse de Stokes ni aucune autre hypothèse sur $\lambda$ n'a d'importance pour le système incompressible. L'équation de quantité de mouvement se réduit à

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f.$$

En divisant par $\rho$ et en définissant la viscosité cinématique $\nu = \mu/\rho$ (avec $p$ redéfinie pour absorber le facteur $1/\rho$), on obtient le système de Navier-Stokes incompressible sur $\mathbb{R}^3$ :

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0) = u_0(x).$$

C'est le système étudié dans le problème du Millénaire de Clay (Fefferman, 2000). Le problème officiel concerne la régularité globale pour des données initiales lisses et à divergence nulle sur $\mathbb{R}^3$ (ou $\mathbb{T}^3$) dans la formulation standard de Clay (Fefferman, 2000).

La pression $p$ n'est pas une variable dynamique indépendante : elle est déterminée (à une constante près) en prenant la divergence de l'équation de quantité de mouvement et en utilisant $\nabla \cdot u = 0$, ce qui donne une équation de Poisson $\Delta p = -\nabla \cdot [(u \cdot \nabla)u] + \nabla \cdot f$ (ou $\Delta p = -\partial_i \partial_j(u_i u_j)$ lorsque $f$ est à divergence nulle ou absent). Ce couplage elliptique est une caractéristique distinctive du système incompressible.

Poser $\nu = 0$ redonne les équations d'Euler incompressibles. La relation entre ces deux systèmes est centrale pour de nombreuses questions ouvertes en dynamique mathématique des fluides.

Ce que la dérivation nous apprend — et ce qu'elle ne nous apprend pas

La dérivation ci-dessus nous donne les équations de Navier-Stokes. Elle nous dit quelles sont les équations et pourquoi elles prennent cette forme. Chaque terme remonte à un principe physique ou à une hypothèse explicite.

Mais dériver les équations n'est pas la même chose que comprendre leurs solutions. La dérivation ne répond pas aux questions suivantes :

Les solutions existent-elles toujours pour tout temps ?
Si elles commencent lisses, restent-elles lisses ?
La vitesse peut-elle exploser vers l'infini en temps fini ?

Ce sont des questions sur le comportement mathématique des équations, et non sur leur origine physique. Et en trois dimensions, elles restent ouvertes. Cet écart mène au problème du Millénaire de Clay : savoir si des données initiales lisses et tridimensionnelles pour Navier-Stokes incompressible produisent toujours des solutions lisses globales, ou si des singularités peuvent se former en temps fini.

L'Institut de mathématiques Clay offre un million de dollars pour une résolution. Après plus de 175 ans, le problème tient toujours.

La dérivation établit les équations de Navier-Stokes comme un système d'EDP bien motivé, fondé sur la conservation de la quantité de mouvement et la loi constitutive newtonienne. Elle n'aborde pas la question centrale du caractère bien posé mathématique.

Plus précisément, la dérivation est muette sur :

L'existence globale : savoir si les solutions lisses persistent pour tout $t > 0$ étant donné des données initiales lisses.
La régularité : savoir si les solutions restent dans $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ ou peuvent développer des singularités.
L'unicité : savoir si les solutions dans divers cadres d'espaces fonctionnels sont uniques.

La théorie de Leray (1934) garantit l'existence globale de solutions faibles dans $L^2$, mais l'unicité et la régularité des solutions de Leray-Hopf restent non prouvées en 3D. L'écart entre les estimations d'énergie disponibles et le changement d'échelle de la non-linéarité est le cœur analytique de la difficulté.

Le problème du Millénaire de Clay demande précisément une preuve ou une réfutation de la régularité globale dans $\mathbb{R}^3$. La dérivation motive le système d'EDP, mais ne résout pas l'existence, la régularité ni l'unicité en 3D.