ナビエ–ストークスの存在と滑らかさ：ミレニアム問題

クレイが実際に問うていること — そして何が解答として認められるか

賞金

2000年、クレイ数学研究所は数学における最も重要な未解決問題7つを選び、それぞれに100万ドルの賞金を提供しました。ナビエ–ストークスの存在と滑らかさの問題はその1つです。

非公式に言えば：流体運動の方程式は常に滑らかで良い振る舞いの解を持つのか、それとも破綻しうるのか？

現在まで、誰も賞金を請求していません。問題は完全に未解決のままですが — 解答（または破綻）がどのようなものかについての理解では目覚ましい進展がありました。

ナビエ–ストークスに対するクレイ・ミレニアム賞は、チャールズ・フェファーマン（2000年）による公式問題記述で述べられています。$\mathbb{R}^3$ 上と $\mathbb{T}^3$（周期境界条件）上の2つの定式化が与えられています。有効な解答はどちらか一方に取り組まなければなりません。

賞は以下のいずれかを要求します：

(A) 存在と滑らかさ：$\nabla \cdot u_0 = 0$ で適切な減衰を持つ任意の $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ に対して、制御された成長を持つすべての $t \geq 0$ で滑らかな解 $(u, p)$ が存在することを証明せよ。
(B) 破綻：滑らかな発散なし初期データと滑らかな外力で、すべての $t > 0$ で滑らかな解が存在しないものを示せ。

問題が実際に問うていることを、平易な言葉で述べます：

設定：完全に滑らかな（鋭い角や不連続点のない）初期流体速度を取り、無限遠で減衰する（流体は作用の中心から遠くでは本質的に静止している）とします。

問い：流体速度はすべての未来の時刻で滑らかかつ有限であり続けるか？　あるいは速度がある点で無限大になる — 「爆発」する — ことが可能か？

答えは2つの可能性のうちの1つです：

フェファーマンによる $f \equiv 0$ の $\mathbb{R}^3$ 上の定式化に従います：

仮定：$u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ を発散なしとする。すべての $\alpha$ と $K$ に対して定数 $C_{\alpha,K}$ が存在して

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{on } \mathbb{R}^3.$$

結論（証明すべきこと）：ナビエ–ストークス方程式を満たし、$u(x,0) = u_0(x)$ で、エネルギー上界

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{for all } t \geq 0$$

を持つ $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ と $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ が存在する。

ナビエ–ストークス問題が7つのミレニアム問題の1つに選ばれたのは、以下の交差点に位置するためです：

問題文は非数学者にもアクセス可能ですが、問題はほぼ2世紀にわたる真剣な努力に抵抗してきました。

問題の困難さは3次元方程式の超臨界的性質に根ざしています。自然なエネルギー評価

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

は $u$ を $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ に置きますが、これは臨界スケーリングより下です。ナビエ–ストークス方程式は

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

の下で不変であり、臨界空間は $L^3(\mathbb{R}^3)$（または $\dot{H}^{1/2}$）です。エネルギークラス $L^2$ は劣臨界であり — 小スケールでの非線形性を制御できず、既存のすべての手法が橋渡しに苦闘するギャップを残しています。

物語の主要なマイルストーン：

1822年 — ナビエが分子論的考察から方程式を導出
1845年 — ストークスが連続体力学からの近代的な導出を与える
1934年 — ルレイが「弱」解が常に存在することを証明（巨大な突破口だが、これらの解は滑らかでないかもしれない）
1982年 — カファレリ、コーン、ニーレンバーグが特異点（部分正則性の詳細）は時空で1次元放物型ハウスドルフ測度ゼロの集合に限定されることを証明 — 孤立した点でしかありえない
1984年 — ビール、加藤、マイダが、爆発は渦度が無限大になる場合にのみ起こりうることを示す
2000年 — クレイがミレニアム問題に指定
現在 — 問題は臨界空間アプローチ、タイプI/II爆発の分類、計算機支援証明に関する活発な研究とともに未解決のまま

基礎的結果の選択的年表：

ルレイ（1934年）：コンパクト性による大域弱解 $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ の存在。ルレイ射影と乱流解の概念を導入。
ホップ（1951年）：ルレイの構成を有界領域に拡張。
ラディジェンスカヤ–プロディ–セリン（1960年代）：正則性判定条件 — $u \in L^p_t L^q_x$、$2/p + 3/q \leq 1$、$q \geq 3$ は滑らかさを含意。臨界の場合 $L^\infty_t L^3_x$ はエスカウリアサ–セレギン–シュヴェラーク（2003年）により解決。
カファレリ–コーン–ニーレンバーグ（1982年）：特異点集合の1次元放物型ハウスドルフ測度はゼロ：$\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$。
ビール–加藤–マイダ（1984年）：爆発条件は $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$。
コッホ–タタル（2001年）：$\mathrm{BMO}^{-1}$ での小データに対する局所適切性、これが知られている最大の臨界空間。
セレギン（2012年）：$T^*$ が爆発時刻ならば、$t \to T^*$ で $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ — ESS（2003年）を強化し、$L^3$ ノルムが実際に発散しなければならないことを示す。

この記事は未解決問題の一部です。

問題がすでに解決されたか尋ねにここに来た方は、ナビエ–ストークス問題は解決されたのか？から始めてください。

そしてなぜこれほど解決が難しいかを探索するか、数学者がどのように問題を部分問題に分解したかをご覧ください。

この記事は未解決問題の一部です。

簡潔な現状の回答と、弱い存在と大域的な滑らかな正則性の区別については、ナビエ–ストークス問題は解決されたのか？をご覧ください。

正則性問題の基礎にある数学的障害については、なぜ難しいのかをご覧ください。取り組み可能な構成要素への分解 — 弱解、部分正則性、爆発の分類 — については、部分問題をご覧ください。